Математическое моделирование

S ² = S D y _j ² = S ( y _j - y' _j ) ² ( 1 )

у _j — измеренное значение функции для определенного значения аргумента ( х );

y' _/ --расчетное значение функции при заданной величине аргумента ( х ) в соответствии с теоретической их взаимосвязью. В случае линейной зависимости

Задача сводится к отысканию коэфф и циентов регрессии а и b уравнения (2), т. е. заранее установлено, что рассматриваемые п араметры у и х связаны линейной зависимостью по уравнению (2).

¶ S ² / ¶ b = ^¶ ( S D y _j ) ² / ¶ b = 0 ( 5 )

Выполнив необходимые преобразования, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными для определения a и b :

S y = m a + b S x

Величина свободного члена уравнения регрессии (2), или коэффициента а равна функции у при x = 0 .

Коэффици е нт b в уравнении регрессии характеризует изменение функции у при изменении аргумента х на единицу. и графически отражает угол наклона линии уравнения регрессии

Числитель выражения для коэффициента корреляции r представляет собой разность между средним значением произведения XY и произведением ср е дних значений X * Y измеренных значений параметров x и y исходной информации . Знаменатель равен произведению средних квадратических откло н ений значений параметров у и х от своих средних. Средние квадратические отклонения ( стандартные отклонения ) рассчитываются по формулам:

s _x = { [ S ( x _{j -} X ) ² ] / m } ^1/2 ( 8 )

D _x = [ S ( x _{j -} X ) ² ] / m ( 10 )

D _y = [ S ( y _{j -} Y ) ² ] / m ( 11 )

r = b s _x / s _y . (12)

Угловой коэффициент р е грессии b представляет собой тангенс угла наклона линии регрессии к оси абсцисс . Следовательно, чем больше наклон линии регрессии к оси абсцисс, тем больше значение коэффициента корреляции, т. е. тем значительнее будет изменение функции у при изменении на единицу аргумента х .

Малая величина коэффициента корреляции указывает на отсутствие линейной связи, однако криволинейная связь между рассматриваемыми параметрами при этом может быть достаточно тесной. Коэффициент корреляции отражает не только величину приращения у при изменении х , но и тесноту связи функции и аргумента. Чем больше разброс точ е к относительно линии регрессии, тем меньше коэффициент корреляции. Это свойство коэффициента корр е ляции отражено в его формуле в виде соотношения стандартных отклонений .

Для оце н ки надежности полученного результата используют иногда критерий надежности m , который уч и тывает как велич и ну коэффициента корреляции, так и число пар измерений. Кр и терий надежности m рассчитывается по формуле

где r — коэффициент корр е ляции;

т — число пар измерений.

Как видно из формулы критерия надежности, чем выше коэффициент корреляции и большее число пар измерений, тем больше показатель надежности. При m , > 2,6 связь считается статист и чески достоверной.

Располагая данными можно выполнить анализ взаимосвязи аргумента и функции : построить график с корреляционным полем рассматриваемых показателей, определить теоретическую линию регрессии, оценить тесноту связи для выбранных параметров. Однако, проанализировав конфигурацию корреляционного поля, построенного по исходным данным, можно усмотреть что описание взаимосвязи рассматриваемых параметров с помощью прямой линии не является наилучшей аппроксимацией. Иногда в данно е поле корреляции значительно лучше впишется некоторая кривая.

Таким образом из технологического опыта может следовать, что связь между аргументом и функцией имеет криволинейный характер. Возможно, что аппроксимация производственных данных в виде кривой точне е отражала бы существующую взаимосвязь.

y = а + b x + c x ² , ( 14 )

S ² = S D y _j ² = S [ y _j - ( a + b x + c x ² ) ] ² ( 16 )

, S y = m a + b S x + c S x ²

h _xу = { s _р ² / s _y ² } ^1/2 = { S ( y' _j - Y ) ² / S ( y _j - Y ) ² } ^1/2 ( 18 )

Квадрат корреляционного отношения h _xу ² показывает долю полной изменчивости зависимой переменной у , обусловленную изменчивостью аргумента х . Этот показатель называется коэффициентом детерминации . В отличн о от коэффициента корреляции величина корреляционного отношения может принимать только положительные значения от 0 до 1. При полном отсутствии связи корреляционное отношение равно нулю , при наличии функциональной связ и оно равно единице , а при наличии регрессионной связи различной тесноты корреляционное отношение принимает значения между нулем и единицей. Выбор типа кривой имеет большое значение в регрессионном анализе, поскольку от вида выбранной взаимосвязи зависит точность аппроксимации и статистические оценки тесноты связи. Наиболее простой метод выбора типа кривой состоит в построении корреляционных полей и в подборе соответствующих типов регрессионных уравнений по расположению точек на этих полях. Методы регрессионного анализа позволяют отыскивать численные значения коэффициентов регрессии для сложных видов взаимосвязи параметров, описываемых, например, полиномами высоких степеней. Часто вид кривой может быть определен на основе физической сущности рассматриваемого процесса или явления. Полиномы высоких степеней имеет смысл применять для описания быстро меняющихся процессов в том случае, если пределы колебания параметров этих процессов значительные.

Применительно к исследованиям металлургического процесса достаточно использовать кривы е низших порядков, например параболу второго порядка.

Эта кривая может иметь один экстремум, что, как показала практика, вполне достаточно для описания различных характеристик металлургического процесса.

Результаты расчетов параметров парной корреля ц ионной вза и мосвязи были бы достоверны н представляли бы практическую цен н ость в том случае, если бы и спользуемая информация была получена для условий широких пределов колебаний аргумента при постоянстве всех прочих параметров процесса. Следовательно, методы исследования парной корреляционной взаимосвязи параметров могут быть использованы для решения практических задач лишь тогда, когда существует уверенность в отсутств и и других серьезных влияний на функцию, кроме анализируемого аргумента. В производственных условиях вести процесс таким образом продолжительное время невозможно. Однако если иметь информ а цию об основных параметрах процесса, влияющих на его результаты, то математическим путем можно исключить влияние этих параметров и выделить в “чистом виде” взаимосвязь интересующей нас функции и аргумента. Такая связь называется частной, или индивидуальной. Для ее определения используется м е тод множественной регрессии.

y = f ( x ₁ , x ₂ , .... x _n ) . ( 19 )

y = a + b 1 x ₁ + b ₂ x 2 . ( 20 )

, S y = m a + b ₁ S x ₁ + b ₂ S x ₂

Таким образом, найденное уравнение регрессии описывает совместное влияние x ₁ и x ₂ на функцию у . Коэффициенты a , b ₁ и b ₂ при этом имеют математический смысл.

Коэффициент а равен функции у при нулевых значениях аргументов x 1 и x ₂ . В геометрической интерпретации коэффициент а соответствует ординате точки пересечения плоскости регрессии Р с осью y .