Математическая логика и теория алгоритмов
Содержание.
Постановка задачи. Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга. Построение модели. Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее. Дерево позиций для n = 2
Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2. Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении. Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции.
Описание алгоритма. Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций. Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды: вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок) вправо (перейти в соседнюю справа вершину) вниз (спуститься вниз на один уровень) вверх_налево вправо вниз и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному". Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача - обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей. Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева. Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над Роботом". Нам понадобится такая процедура: procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)} begin {инвариант: ОЛ} while есть_сверху do begin вверх_налево end {ОЛ, Робот в листе} обработать; {ОЛН} end; Основной алгоритм: дано: Робот в корне, листья не обработаны надо: Робот в корне, листья обработаны {ОЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа} вправо; {ОЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; end; end; {ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны} Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения):
Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья). Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может: а) быть частью пути из корня в x (y ниже x); б) свернуть налево с пути в x (y левее x); в) пройти через x (y над x); г) свернуть направо с пути в x (y правее x); В частности, сама вершина x относится к категории в). Условия теперь будут такими: (ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее; (ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над. Вот как будет выглядеть программа: procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)} begin {инвариант: ОНЛ} while есть_сверху do begin обработать вверх_налево end {ОНЛ, Робот в листе} обработать; {ОНЛН} end; Основной алгоритм: дано: Робот в корне, ничего не обработано надо: Робот в корне, все вершины обработаны {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОНЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа} вправо; {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; end; end; {ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны} Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков. Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков. Листья по-прежнему обрабатываются по разу: Под "обработано ниже и левее" будем понимать "ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)". Под "обработано ниже, левее и над" будем понимать "ниже обработано по разу, левее и над - полностью". Программа будет такой: procedure вверх_до_упора_и_обработать {дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)} begin {инвариант: ОНЛ} while есть_сверху do begin обработать вверх_налево end {ОНЛ, Робот в листе} обработать; {ОНЛН} end; Основной алгоритм: дано: Робот в корне, ничего не обработано надо: Робот в корне, все вершины обработаны {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать {инвариант: ОНЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа} вправо; {ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin {ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; обработать; end; end; {ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны полностью} Доказательство правильности алгоритма. Докажем , что приведенная программа завершает работу (на любом конечном дереве). Доказательство . Процедура вверх_налево завершает работу (высота Робота не может увеличиваться бесконечно). Если программа работает бесконечно, то, поскольку листья не обрабатываются повторно, начиная с некоторого момента ни один лист не обрабатывается. А это возможно, только если Робот все время спускается вниз. Противоречие.
Блок-схема алгоритма.
Описание переменных и программа. Теперь реализуем операции с деревом позиций. Позицию будем представлять с помощью переменной k: 0..n (число ферзей) и массива c: array [1..n] of 1..n (c [i] - координаты ферзя на i-ой горизонтали; при i > k значение c [i] роли не играет). Предполагается, что все позиции допустимы (если убрать верхнего ферзя, остальные не бьют друг друга). program queens; const n = ...; var k: 0..n; c: array [1..n] of 1..n; procedure begin_work; {начать работу} begin k := 0; end; function danger: boolean; {верхний ферзь под боем} var b: boolean; i: integer; begin if k <= 1 then begin danger := false; end else begin b := false; i := 1; {b <=> верхний ферзь под боем ферзей с номерами < i} while i <> k do begin b := b or (c[i]=c[k]) {вертикаль} or (abs(c[i]-c[k])=abs(i-k)); {диагональ} i := i+ 1; end; danger := b; end; end;
function is_up: boolean {есть_сверху} begin is_up := (k < n) and not danger; end; function is_right: boolean {есть_справа} begin is_right := (k > 0) and (c[k] < n); end; {возможна ошибка: при k=0 не определено c[k]} function is_down: boolean {есть_снизу} begin is_up := (k > 0); end;
procedure up; {вверх_налево} begin {k < n} k := k + 1; c [k] := 1; end; procedure right; {вправо} begin {k > 0, c[k] < n} c [k] := c [k] + 1; end; procedure down; {вниз} begin {k > 0} k := k - 1; end; procedure work; {обработать} var i: integer; begin if (k = n) and not danger then begin for i := 1 to n do begin write ('<', i, ',' , c[i], '> '); end; writeln; end; end; procedure UW; {вверх_до_упора_и_обработать} begin while is_up do begin up; end work; end; begin begin_work; UW; while is_down do begin if is_right then begin right; UW; end else begin down; end; end; end. Расчёт вычислительной сложности. Емкостная сложность: В программе используется одномерный массив размерности n, поэтому объём входа и объём выхода совпадают и равны n. Количество пременных равно 3(i,b,k) + 1(const n), т.е. объём промежуточных данных равен 4. С(n)=n+4 Временная сложность: Если рассматривать обработку каждого листа, без проверки на пути к нему, то временная сложность T(n) = n 0 +n 1 +n 2 +n 3 +…+n n . Но в случае, когда каждая вершина проверяется, временная сложность T(n) = o(n 0 +n 1 +n 2 +n 3 +…+n n ). И это тем вернее, чем больше n. Данный вывод получен на основе приведённых ниже статистических данных:
Тестирование. Построенная по описанному алгоритму программа при различных n выдаёт следующие данные: n=4 <1,2><2,4><3,1><4,3> <1,3><2,1><3,4><4,2> Т.е. количество расстановок равно 2. Ниже приведена таблица зависимости от n количества решений (R).
Cписок литературы.
Поделитесь этой записью или добавьте в закладки |
Полезные публикации |
Главная