, где если среди корней есть кратные, то можно представить и в виде (*):

, где S _i – кратности корней, а t _j – кратности сопряженных мнимых его корней. Представление (*) называется каноническим представлением f(x).

Теорема 4. Теоремы (1), (3) позволяют сделать с очевидностью вывод о том, что четность действительных корней совпадает с четностью его степени.

Вопрос 13. Кольцо многочленов над полем рациональных чисел (Q).

Теория многочленов утверждает, что множество многочленов f(x) = a _n x ⁿ + …+ a ₁ x + a ₀ ,

где a _i ∈ K – кольцо, x ⁰ =1, x∈K, 1∙x=x с операциями сложения и умножения образуют кольцо многочленов над кольцом K и обозначают K [ x ].

Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца K рассматривается поле P . В силу того, что в поле P есть операция деления, становится возможным построить теорию корня многочленов и теорию приводимых и неприводимых многочленов. Рассмотрим, как решается эта проблема в Q [ x ].

Напомним, что корнем f(x) называется такое число x = a , что f(a) = 0 .

f(x) называется неприводимым, если его нельзя представить в виде двух многочленов меньшей положительной степени, в противном случае его называют приводимым.

Итак, пусть Q [ x ], f(x)∈ Q [ x ], где f(x) = a _n x ⁿ + …+ a ₁ x + a ₀ …(1), сформулируем и докажем теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если многочлен имеет рациональные коэффициенты, то он легко преобразуется к ему ассоциированному с целыми коэффициентами. Поэтому теорию существования и нахождения корней f(x)∈ Q [ x ] рассматривают именно для такого варианта, т.е. f(x)∈ Q [ x ], а a _i ∈ Z.

Теорема 1: Если ∈Q , где (p,q)=1, является корнем многочлена (1)… f(x) = a _n x ⁿ + …+ + a ₁ x + a ₀ , a _i ∈ Z , то p является делителем свободного члена, а q -делителем старшего коэффициента a _n .

Если Q корень f(x) , то f =0. Подставим в (1) вместо x , получим

0= a _n + …+ a ₁ + a ₀ , приведём к общему знаменателю, получим

Преобразуем (2) :

2.1 : 0 = a _n p ⁿ + q(a _n-1 p ^n-1 +…+ a ₁ p q ^n-2 + a ₀ q ^n-1 ) ⇒ a _n p ⁿ + q Q ∶ q, qQ ∶ q

⇒ a _n p ⁿ ∶ q, (p,q)′→ a _n ∶ q , т.е. q- делитель старшего коэффициента;

2.2 : 0 = p(a _n p ^n-1 +…+ a ₁ q ^n-1 ) + a ₀ q ⁿ ) ⇒ pQ + a ₀ q ⁿ ∶ p, pQ ∶ p, ⇒ a ₀ q ⁿ ∶ p, (q,p)=1 ⇒ a ₀ ∶ p, т.е. p -делитель свободного члена, что и доказывает теорему.

Следствие 2: Если f(x)∈ Q [ x ], а a _i ∈Z , a _n = 1 , то он обладает только целыми корнями, которые находятся среди делителей свободного члена.

Истинность этого утверждения очевидна в силу того, что a _n = 1, а делители 1 являются только ±1, следовательно, q= ±1 и ∈Z . Т.к. = ± p∈Z находятся среди делителей, то утверждение верно.

Решим проблему неприводимости многочлена из Q [ x ], вернее о степени такого многочлена.

Решение этой проблемы предложено Эйзенштейном и носит название критерий Эйзенштейна о неприводимости многочлена в Q [ x ]. Заметим, что решение этой проблемы тоже есть смысл рассматривать для f(x)∈ Z [ x ], поскольку Q является полем частных области целостности Z .

Теорема 3: Пусть f(x)= c _n x ⁿ + …+ c ₁ x + c ₀ , c _i ∈Z . Пусть все коэффициенты f(x) , кроме старшего, делятся на p ² . Тогда f(x) неприводим в Z [ x ].

Доказательство проведём методом от противного.

Пусть f(x)∈ Q [ x ] или f(x)∈ Z [ x ] приводим, т.е. существуют такие g(x), h(x)∈ Z [ x ], что

f(x) = (a ₀ +…+a _k x ^k )(b ₀ +…+ b _m x ^m ) = g(x)·h(x), (a _k ≠ 0, b _m ≠ 0, k + m = n, причем 1≤ k, m < n).

Тогда c ₀ = a ₀ ·b ₀ , c _n = a _k ·b _m . Так как c ₀ ∶ p, c ₀ не∶ p ₂ , c ₀ = a ₀ ·b ₀ ⇒ a ₀ не∶ p Λ b ₀ не∶ p ; пусть a ₀ ∶ p,

b ₀ не∶ p . Так как c _n не∶ p , то a _k не∶ p, b _m не∶ p, тогда у g(x) есть коэффициент делящийся на p и неделящийся на p . Пусть a _s коэффициент g(x) с наименьшим s таким, что a _s не∶ p, т.е. a ₀ , a ₁ , …, a _s-1 ∶ p, а a _s не∶ p .

Найдем c _s = a _s b _s + (a _s-1 b ₁ + a ₀ b _s ) (s<n), т.к. a _s не∶ p, b ₀ не∶ p, то a _s b ₀ не∶ p, число (a _s-1 b ₁ + a ₀ b _s ) ∶ p, по свойству делимости в кольце Z, c _s не∶ p, s<n, а это противоречит условию. Получено противоречие в силу предположения, что f(x) - приводим. Что и доказывает теорему о неприводимости f(x) .

Следствие 4 : Если p – простое число и n – любое целое положительное число, то многочлен x ⁿ -p неприводим в Q [ x ].

Теорема 3 и следствие 4 позволяют сделать вывод о том, что в Q [ x ] существуют неприводимые многочлены любой степени. Поэтому решение проблемы нахождения корней f(x) и разложения его на неприводимые многочлены затрудненно и требует в каждом конкретном случае особого подхода.

Пусть дано поле P . P[x] - кольцо многочленов от одной переменной над полем P . Обратимся к понятию алгебраической замкнутости поля P . Напомним, что поле Р называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен f(x)О P[x] обладает хлтя бы одним корнем. Введем такое понятие: элемент a О Р называется алгебраическим над полем Р , если существует f(x)О P[x] , для которого a является корнем.

Пусть дано поле Р и a П Р , a О F – поле.

Определение 1. Простым расширением поля Р с помощью элемента a называется наименьшее подмножество поля F , содержащее Р и a . Простое расширение поля Р с помощью a О F обозначается Р(a ) .

В вопросе решается проблема о строении Р(a ) и возможности применения этой теории для освобождения знаменателя дроби от алгебраической иррациональности. Для решения обозначенной проблемы рассмотрим Р[a ]={f(a )/f(x)О P[x]} , где Р[a ]={a ₀ +a _1a +...+a _na ⁿ /a _iО P, nО N} .

Легко проверить, что Р[a ] подкольцо поля Р(a ) .

Теорема 2. Пусть Р[x] – кольцо над Р , Р(a ) – простое расширение Р с помощью элемента a . Пусть y : Р[х] на Р[a ] – отображение такое, что y (f(x))=f(a ) . Тогда:

1 ⁰ . " aО P, y (a)=a ;

2 ⁰ . y (x)=a ;

3 ⁰ . y – гомоморфизм и эпиморфизм;

4 ⁰ . Ker y ={f(x)О Р[x]/ f(a )=0О Р[a ]};

5 ⁰ . Фактор-кольцо Р[х]/Ker y изоморфно кольцу Р[a ].

n 1 ⁰ и 2 ⁰ следуют из определения y .

3 ⁰ : y (f(x)+g(x))= f(a )+g(a ), y (fg)=f(a )g(a ), y (1)=1, это проверяется непосредственно, поэтому y – гомоморфизм; " f(a )О Р[a ], $ f(x)О Р[x], y (f(x))=f(a ) Ю y – эпиморфизм.

4 ⁰ : следует из существования Ker f для гомоморфизма и из определения y .

Рассмотрим 5 ⁰ . Так как Ker y – идеал Р[х] , то становится возможным Р[х] факторизовать, получить Р[х]/Ker y , тогда по основной теореме об эпиморфизме колец Р[х]/Ker y є Р[a ].

e : Р[x]® Р[x]/Kery , e (f(x))=Kf(x).

j : Р[x]/Kery ® Р[a ], где

j (Kf(x))=f(a )Ю j – изоморфизм.

Следствие 3. Если a - трансцендентный элемент над полем Р , то Р[х]@ Р[a ] .

n В силу трансцендентности a над Р , Kery ={0} и Р[x]/{0}@ Р[a ], кроме того e – изоморфизм, то есть Р[x]/{0}@ Р[x] следовательно, Р[x]@ Р[a ].

Определение 4. Пусть Р[х] – кольцо многочленов над полем Р . Пусть a – алгебраический элемент над полем Р . Минимальным многочленом * a над Р называется нормированный многочлен наименьшей степени, для которого a является корнем.

Обозначим минимальный многочлен для a над Р через g(x) , deg g(x)=n называют степенью алгебраического элемента a над Р.

Легко показать:

1. g(x) существует для каждого алгебраического элемента;
2. g(х) – неприводимый многочлен в Р[х] над Р ;
3. g(x) для a определяется однозначно.

Все натуральные числа, в связи с отношениеми делимости на , разбиваются на группы: { 0} , { 1} , { р ₁ , р ₂ ,…,…} , { а ₁ , а ₂ ,…} , где 1 обладает только один делитель, р _i – двумя, а для а _i существует более двух.

Пусть n О N имеет делители, отличные от 1. Обозначим тот делитель, который будет наименьшим среди всех делителей. Пусть это натуральное число к, т.е. n = к ^. m; к, m О N , к > 1. Исследуем к.

Если к = p – простое число, то теорема верна.

Если к – составное число, то к = к ₁ m ₁ , тогда n = к ₁ (m ₁ m), n к ₁ , к ₁ < к, что противоречит выбранному наименьшему значению. Это и доказывает теорему.

1. Проверим его делимость на 2,3,5,…p ≤ . Если оно не делится на эти простые числа, то оно простое;
2. Если оно делится хотя бы на одно из этих чисел, то оно составное.

1. при выяснении простого числа n, одновременно поступаем так:

не вычеркнутому числу и исследуют его делимое на 5;

2.4.2. если n ₁ = 3q + r, то в зависимости от r = 1 или r = 2, добавляем 1 или 2 и

n ₁ + 1, n ₁ + 2.

И любое третье по счету и т.д.

2.5 Если n ₁ оказалось простым, то все не вычеркнутые числа тоже простые. Если n ₁ оказалось составным, а n _i – простое, то все стоящие за n _i числа остальные простые.

Поделитесь этой записью или добавьте в закладки