и кинетического уравнения

(13)

Полученное интегрально - дифференциальное уравнение носит название уравнения Больцмана.

К указанным во “Введении” допущениям добавим ещё одно: столкновения молекул рассматриваются как мгновенные акты, происходящие в одной “точке” пространства. Кинетическое уравнение описывает процес, который протекает в интервале времени, много большем по сравнению с длительностью столкновений. В то же время, рассматриваемая область системы должна значительно превышать область столкновения частиц, которая имеет размеры порядка величины радиуса действия молекулярных сил d. Время столкновения по порядку величины может быть определено как ( - средняя скорость движения молекул в газе). Полученные значения представляют собой нижний предел расстояния и времени, при рассмотрении которых допускается применение кинетического уравнения. Реальные физические задачи не требуют столь детального описания процесса; размеры системы и время наблюдения значительно превышают требуемый минимум.

Величина - время свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений можно использовать:

Записанная в числителе разность учитывает тот факт, что интеграл столкновений обращаются в нуль для равновесной функции распределения, а знак “минус” говорит о том, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия, т.е. стремятся уменьшить отклонение функции распределения от равновесной ( иными словами, любая система, выведенная из состояния равновесия, отвечающего минимальной внутренней энергии системы, и предоставленная самой себе, стремится вернуться в равновесное состояние).

Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа. Но на практике часто не требуется столь детально описывать процессы, поэтому при рассмотрении задач гидродинамики, задач о протекании процессов в неоднородных или сильно разреженных газах, задач о теплопроводности и диффузии газов и ряда других имеет смысл переходить к менее детальным (а следовательно более простым ) макроскопическим уравнениям. Такое описание применимо к газу, если его макроскопические свойства (температура, плотность, концентрация частиц, давление и т.п.) достаточно медленно меняются вдоль любого, произвольно выбранного направления в газе. Расстояния, на которых происходит существенное изменение макрокскопических параметров, должны значительно превышать длину свободного пробега молекул.

В качестве примера рассмотрим рассмотрим способ получения гидродинамического уравнения.

Выражение определяет плотность распределения молекул газа в пространстве (концентрацию молекул газа). Произведение массы одной молекулы (предполагается, что газ состоит из одинаковых частиц) на плотность распределения молекул даёт массовую плотность газа: . Обозначим через макроскопическую скорость движения газа как целого, а через микроскопическую скорость молекул. Макроскопическая скорость (скорость движения центра масс) может быть определена как средняя величина от микроскопических скоростей молекул

Столкновения не изменяют ни количества сталкивающихся частиц ни их суммарной энергии или импульса (столкновение молекул считается абсолютно упругим ударом). Столкновительная часть изменения функции распределения не может привести к изменению плотности, внутренней энергии, скорости и любых других макроскопических параметров газа в каждом его элементе объёма. Действительно, столкновительная часть изменения полного числа молекул в единице объёма газа даётся равным нулю интегралом:

Последнее выражение, очевидно, равно нулю и, следовательно, справедливым является равенство (14).

Отсюда немедленно получаем гидродинамическое уравнение непрерывности:

Задав в этом дифференциальном уравнении изменение плотности жидкости и считая жидкость несжимаемой, можно получить векторное поле направлений скоростей в любой точке жидкости.

Все реальные физические процессы обязательно протекают с некоторыми потерями энергии (т.е. происходит диссипация энергии – переход энергии упорядоченного движения в энергию хаотического движения, например, в тепловое движение молекул газа). Для рассмотрения диссипативных процессов (теплопроводности или вязкости) в слабо неоднородном газе необходимо использовать следующее приближение: функцию распределения в малом участке газа следует считать не локально равновесной, как в случае однородного газа, а отличающейся от равновесной на некоторую достаточно малую (т.к. газ слабо неоднородный) величину . Функция распределения примет вид , а саму поправку запишем в виде . Функция должна удовлетворять определённым условиям. Если заданным плотностям числа частиц, энергии и импульса газа

Указанный интеграл обращается в нуль для функций вида

определена, то можно определить коэффициент теплопроводности, вычисляя поток энергии, точнее - его диссипативную часть, не связанную с конвективным переносом энергии (обозначим эту часть потока энергии через ). В отсутствии макроскопического движения в газе Q совпадает с полным потоком энергии Q, который может быть выражен через интеграл

Таким образом поток энергии выражается как , где величина есть скалярный коэффициент теплопроводности

Поток Q должен быть направлен в сторону, противоположную градиенту температуры, а величина соответственно должна быть положительна, что автоматически обеспечивается кинетическим уравнением (). В одноатомных газах скорость v- единственный вектор от которого зависит функция g ( в многоатомных газах имеет место зависимость g не только от скорости v , но и отмомента M). Для одноатомных газов функция g имеет вид:

Для одноатомного газа теплоёмкость . Положив уравнению ( ) придадим вид

Линейный интегральный оператор, соответствующий интегралу столкновений ( ) ,определяется формулой